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康托尔

康托尔的实数的定义反应了实数哪方面的性质?()
康托尔的实数的定义反应了实数哪方面的性质?()
提示:

康托尔的实数的定义反应了实数哪方面的性质?()

完备性。康托集是指著名的康托尔完全集,属于高等数学是这样构成的:给出闭区间[0,1],把它三等分,第一次删去中间的那个子集(1/3,2/3),剩下[0,1/3]和[2/3,1],再把这两个闭区间三等分,第二次删去中间的子集(1/9,2/9)、(7/9,8/9),剩下[0,1/9]、[2/9,1/3]、[2/3,7/9]、[8/9,1],如此继续下去直至无穷,那么最终剩下的集合的测度可用下式计算:1-(1/3+2/9+4/27+……)=1-(1/3)/(1-2/3)=0康托尔由此得出,剩下的集合是测度为0的连续基数集,这就是康托尔完全集。 有理数和无理数统称为实数,实数有下列重要性质:1.有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式,都可以表示成分数的形式;无理数是无限不循环小数,不能写成分数的形式,这里、是互质的整数,且.2.有理数对加、减、乘、除是封闭的,即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数;无理数对四则运算不具有封闭性,即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数.

证明康托尔五分集的测度为零
提示:

证明康托尔五分集的测度为零

证明如下 要证明康托尔五分集(Cantor set)的测度为零,我们可以使用一种称为“二进制展开法”的方法。首先,我们将单位线段[0, 1]表示为[0,1]之间所有二进制小数的集合。例如,1/4可以用二进制表示为0.01,1/8可以用二进制表示为0.001,以此类推。接下来,我们将在这个区间中删除一些数字,使得最后剩下的集合即为康托尔五分集。具体操作如下:1. 开始时,康托尔五分集包含整个单位线段[0, 1]。2. 将[0, 1]平均分成三个等长的子区间,去掉中间的那个子区间。3. 对于每个剩余的子区间,将其再次平均分成三个等长的子区间,去掉中间的那个子区间。4. 重复上述步骤,不断进行无限次的分割和去除中间子区间的操作。通过这样的构造过程,我们可以得到一个由无限个闭合子区间组成的集合,也就是康托尔五分集。每个子区间的长度都是原区间的1/3,而且这些子区间没有重叠,因此康托尔五分集的总长度为无限个1/3的和。然而,当我们计算这个无限和时,可以发现它等于1/3 + 1/9 + 1/27 + ...,即一个等比数列的求和。根据等比数列求和公式,这个和等于1/2。[微笑][微笑]【摘要】
证明康托尔五分集的测度为零【提问】
证明如下 要证明康托尔五分集(Cantor set)的测度为零,我们可以使用一种称为“二进制展开法”的方法。首先,我们将单位线段[0, 1]表示为[0,1]之间所有二进制小数的集合。例如,1/4可以用二进制表示为0.01,1/8可以用二进制表示为0.001,以此类推。接下来,我们将在这个区间中删除一些数字,使得最后剩下的集合即为康托尔五分集。具体操作如下:1. 开始时,康托尔五分集包含整个单位线段[0, 1]。2. 将[0, 1]平均分成三个等长的子区间,去掉中间的那个子区间。3. 对于每个剩余的子区间,将其再次平均分成三个等长的子区间,去掉中间的那个子区间。4. 重复上述步骤,不断进行无限次的分割和去除中间子区间的操作。通过这样的构造过程,我们可以得到一个由无限个闭合子区间组成的集合,也就是康托尔五分集。每个子区间的长度都是原区间的1/3,而且这些子区间没有重叠,因此康托尔五分集的总长度为无限个1/3的和。然而,当我们计算这个无限和时,可以发现它等于1/3 + 1/9 + 1/27 + ...,即一个等比数列的求和。根据等比数列求和公式,这个和等于1/2。[微笑][微笑]【回答】

康托尔集是不可数的,怎么证明是零测度集?
提示:

康托尔集是不可数的,怎么证明是零测度集?

只需证明它抹去的测度为1,那么它剩下的测度就是0。
首先,小数点后第1位是1的都被抹去了,它们的测度是:1/3
剩下的是:小数点后第1位是0或2的数,它们的测度是:2/3
其中小数点后第2位是1的又被抹去了,这次被抹去的测度是:2/3
*
1/3
再剩下的是:小数点后第1、2位都是0或2,它们的测度是:(2/3)^2
在它们之中,小数点后第3位是1的被抹去了,所以又被抹去了测度:(2/3)^2
*
1/3
……
这么一直算下去,被抹去的测度是:(1/3)
*
(1
+
(2/3)
+
(2/3)^2
+
...
)
=
1
所以剩下的测度就只是0了。